Площадь круга

Напомним, что кругом называется часть плоскости, ограниченная окружностью. Круг радиуса R с центром O содержит точку O и все точки плоскости, находящиеся от точки O на расстоянии, не большем R.

Выведем формулу для вычисления площади круга радиуса R. Для этого рассмотрим правильный n-угольник A₁ A₂ ... A_n, вписанный в окружность, ограничивающую круг (рис. 1). Очевидно, площадь S данного круга больше площади S_n данного многоугольника A₁ A₂ ... A_n, так как этот многоугольник целиком содержится в данном круге. С одной стороны, площадь S'_n круга, вписанного в многоугольник, меньше S_n, так как этот круг целиком содержится в многоугольнике. Итак,

S'_n < S_n < S.   (1)

Будем теперь неограниченно увеличивать число сторон многоугольника.

,
где r_n — радиус вписанной в многоугольник окружности. При   cos (180° / n) → 1, поэтому . Иными словами, при неограниченном увеличении сторон многоугольника вписанная в него окружность «стремится» к описанной окружности, поэтому при . Отсюда из неравенств (1) следует, что при .

По формуле S_n = 1 / 2 P_n r_n,
где P_n — периметр многоугольника A₁ A₂ ... A_n. Учитывая, что , , при , получаем . Итак, для вычисления площади S круга радиуса R мы получили формулу

S = πR²

Другие заметки по алгебре и геометрии