Площадь квадрата

Квадрат — это правильный четырёхугольник, у которого все стороны и углы равны между собой.
Площадь квадрата равна квадрату его стороны:

Доказательство

Начнем с того случая, когда a = 1/n, где n является целым числом.
Возьмем квадрат со стороной 1 и разобьем его на n² равных квадратов так, как показано на рисунке 1.

Так как площадь большого квадрата равна единице, то площадь каждого маленького квадрата равна 1/n². Сторона каждого маленького квадрата равна 1/n, т. е. равна a. Итак,

При этом каждая сторона данного квадрата разобьется на m равных частей, и, значит, сторона любого маленького квадрата равна

a/m = a / (a · 10ⁿ) = 1/10ⁿ.

По формуле (1) площадь маленького квадрата равна (1/10ⁿ)². Следовательно, площадь S данного квадрата равна

m² · (1/10ⁿ)² = (m/10ⁿ)² = ((a · 10ⁿ)/10ⁿ)² = a².

Наконец, пусть число a представляет собой бесконечную десятичную дробь. Рассмотрим число a_n, получаемое из a отбрасыванием всех десятичных знаков после запятой, начиная с (n + 1)-го. Так как число a отличается от a_n не более чем на 1/10ⁿ, то a_n ≤ a ≤ a_n + 1/10ⁿ, откуда

a_n² ≤ a² ≤ (a_n + 1/10ⁿ)².   (2)

Ясно, что площадь S данного квадрата заключена между площадью квадрата со стороной a_n и площадью квадрата со стороной a_n + 1/10ⁿ:

т. е. между a_n² и (a_n + 1/10ⁿ)²:

a_n² ≤ S ≤ (a_n + 1/10ⁿ)².   (3)

Будем неограниченно увеличивать число n. Тогда число 1/10ⁿ будет становиться сколь угодно малым, и, значит, число (a_n + 1/10ⁿ)² будет сколь угодно мало отличаться от числа a_n². Поэтому из неравенств (2) и (3) следует, что число S сколь угодно мало отличается от числа a². Следовательно, эти числа равны: S = a², что и требовалось доказать.

Так же площадь квадрата можно найти с помощью следующих формул:

S = 4r²,
S = 2R²,

где r — радиус вписанной в квадрат окружности,
R — радиус описанной вокруг квадрата окружности.

Другие заметки по алгебре и геометрии