Площадь трапеции

Площадь трапеции равна произведению полусуммы ее оснований на высоту:

S = ((AD + BC) / 2) · BH,

где высота трапеции — это перпендикуляр, проведенный из любой точки одного из оснований к прямой, содержащей другое основание.

Доказательство.

Рассмотрим трапецию ABCD с основаниями AD и BC, высотой BH и площадью S.

Докажем, что S = ((AD + BC) / 2) · BH.
Диагональ BD разделяет трапецию на два треугольника ABD и BCD, поэтому S = S_ABD + S_BCD. Примем отрезки AD и BH за основание и высоту треугольника ABD, а отрезки BC и DH₁ за основание и высоту треугольника BCD. Тогда

S_ABC = AD · BH / 2, S_BCD = BC · DH₁.

Так как DH₁ = BH, то S_BCD = BC · BH / 2.
Таким образом,

S = AD · BH / 2 + BC · BH = ((AD + BC) / 2) · BH.

Теорема доказана.

Так же площадь трапеции можно найти с помощью следующих формул:

1. S = mh, где m — средняя линия, h — высота трапеции.
2. Если трапеция равнобедренная, то S = 4r² / sinα, где r — радиус вписанной окружности, α — угол при основании.
3. ,
   где a, b — основания, c и d — боковые стороны трапеции.

Другие заметки по алгебре и геометрии