Длина окружности

Длина окружности обозначается буквой C и вычисляется по формуле:

C = 2πR,
где R — радиус окружности.

Вывод формулы, выражающей длину окружности

Путь C и C’ — длины окружностей радиусов R и R’. Впишем в каждую из них правильный n-угольник и обозначим через P_n и P'_n их периметры, а через a_n и a'_n их стороны. Используя формулу для вычисления стороны правильного n-угольника a_n = 2R sin (180°/n) получаем:
P_n = n · a_n = n · 2R sin (180°/n),
P'_n = n · a'_n = n · 2R' sin (180°/n).
Следовательно,
P_n / P'_n = 2R / 2R'. (1)
Это равенство справедливо при любом значении n. Будем теперь неограниченно увеличивать число n. Так как P_n → C, P'_n → C', n → ∞, то предел отношения P_n / P'_n равен C / C'. С другой стороны, в силу равенства (1) этот предел равен 2R / 2R'. Таким образом, C / C' = 2R / 2R'. Из этого равенства следует, что C / 2R = C' / 2R', т. е. отношение длины окружности к ее диаметру есть одно и то же число для всех окружностей. Это число принято обозначать греческой буквой π ("пи").
Из равенства C / 2R = π получаем формулу для вычисления длины окружности радиуса R:
С = 2πR.

Длина дуги окружности

Так как длина всей окружности равна 2πR, то длина l дуги в 1° равна 2πR / 360 = πR / 180.
Поэтому длина l дуги окружности с градусной мерой α выражается формулой

Другие заметки по алгебре и геометрии