Тригонометрические уравнения

Тригонометрическое уравнение — уравнение, содержащее неизвестное под знаком тригонометрической функции.

Виды тригонометрических уравнений

• Простейшие тригонометрические уравнения.
  • Уравнение sin x = a

    Если | a | > 1, то уравнение sin x = a не имеет корней. Например, уравнение sin x = 2 не имеет корней.
    Если | a | ≤ 1, то корни уравнения выражаются формулой x = ( —1)ⁿ arcsin a + πn, n ∈ Z.
    Частные случаи:
    1. sin x = 0 ⇒ x = πn, n ∈ Z.
    2. sin x = 1 ⇒ x = π/2 + 2πn, n ∈ Z.
    3. sin x = -1 ⇒ x = -π/2 + 2πn, n ∈ Z.

  • Уравнение cos x = a

    Если | a | > 1, то уравнение cos x = a не имеет корней. Например, уравнение cos x = —1,5 не имеет корней.
    Если | a | ≤ 1, то корни уравнения выражаются формулой x = ±arccos a + πn, n ∈ Z.
    Частные случаи:
    1. cos x = 0 ⇒ x = π/2 + πn, n ∈ Z.
    2. cos x = 1 ⇒ x = 2πn, n ∈ Z.
    3. cos x = -1 ⇒ x = π + 2πn, n ∈ Z.

  • Уравнение tg x = a

    Уравнение tg x = a имеет корни при любом значении a. Корни уравнения выражаются формулой x = arctg a + πn, n ∈ Z.

  • Уравнение ctg x = a

    Уравнение ctg x = a имеет корни при любом значении a. Корни уравнения выражаются формулой x = arcctg a + πn, n ∈ Z.

• Разложение на множители.
• Двучленные уравнения.
• Однородные уравнения.
• Способ подстановки.
• Иррациональные тригонометрические уравнения.
• Дробно-рациональные тригонометрические уравнения.
• Введение дополнительного угла

  Этот способ используется для уравнений вида a · sin x + b · cos x = с.

Другие заметки по алгебре и геометрии