Тригонометрические функции

Область определения и множество значений тригонометрических функций

Каждому действительному числу x соответствует единственная точка единичной окружности, получаемая поворотом точки (1;0) на угол x радиан. Для этого угла определены sin x и cos x. Тем самым каждому действительному числу x поставлены в соответствие числа sin x и cos x, т.е. на множестве R всех действительных чисел определены функции

y = sin x и y = cos x
Таким образом, областью определения функций y = sin x и y = cos x является множество R всех действительных чисел.

Чтобы найти множество значений функции y = sin x, нужно выяснить, какие значения может принимать y при различных значениях x, т.е. установить, для каких значений y есть такие значения x, при которых sin x = y. Известно, что уравнение sin x = a имеет корни, если |a| ≤ 1, и не имеет корней, если |a| > 1.
Следовательно, множеством значений функции y = sin x является отрезок -1 ≤ y ≤ 1.
Аналогично множеством значений функции y = cos x также является отрезок -1 ≤ y ≤ 1.

Функция y = tg x определяется формулой y = tg x = sin x/cos x. Эта функция определена при тех значениях x, для которых cos x ≠ 0
Известно, что cos x = 0 при x = π/2 + πn, n Є Z.
Следовательно, областью определения функции y = tg x является множество чисел x ≠ π/2 + πn, n Є Z.
Так как уравнение tg x = a имеет корни при любом действительном значении a, то множеством значений функции y = tg x является множество R всех действительных чисел.

Функции y = sin x, y = cos x, y = tg x называют тригонометрическими функциями.

Четность, нечетность, периодичность тригонометрических функций

Известно, что для любого значение x верны равенства

sin (-x) = -sin x, cos (-x) = cos x
Следовательно, y = sin x — нечетная функция, а y = cos x — чётная функция. Так как для любого значения x из области определения функции y = tg x верно равенство tg (-x) = -tg x, то y = tg x — нечетная функция.

Известно, что для любого значения x верны равенства

sin (x + 2π) = sin x, cos (x + 2π) = cos x.
Из этих равенств следует, что значения синуса и косинуса периодически повторяются при изменении аргумента на 2π. Такие функции называются периодическими с периодом 2π.

Функция f (x) называется периодической, если существует такое число T ≠ 0, что для любого x из области определения этой функции выполняется равенство f (x - T) = f (x) = f (x + T).
Число T называется периодом функции f (x).
Из этого определения следует, что если x принадлежит области определения функции f (x), то числа x + T, x - T и вообще числа x + Tn, n Є Z, также принадлежат области определения этой периодической функции и f (x + Tn) = f (x), n Є Z

Число 2π является наименьшим положительным периодом функции y = cos x, также и для функции y = sin x.
π - наименьший положительный период функции tg x.

---

Другие заметки по алгебре и геометрии