Степенная функция

Степенная функция — это функция вида y = x ^p, где p — заданное действительное число.

Свойства степенной функции

1. Если показатель p = 2n — четное натуральное число:
   • область определения — все действительные числа, т. е. множество R;
   • множество значений — неотрицательные числа, т. е. y ≥ 0;
   • функция четная;
   • функция является убывающей на промежутке x ≤ 0 и возрастающей на промежутке x ≥ 0.
   Пример функции с показателем p = 2n: y = x⁴.


2. Если показатель p = 2n - 1 — нечетное натуральное число:
   • область определения — множество R;
   • множество значений — множество R;
   • функция нечетная;
   • функция является возрастающей на всей действительной оси.
   Пример функции с показателем p = 2n - 1: y = x⁵.


3. Если показатель p = -2n, где n — натуральное число:
   • область определения — множество R, кроме x = 0;
   • множество значений — положительные числа y > 0;
   • функция четная;
   • функция является возрастающей на промежутке x < 0 и убывающей на промежутке x > 0.
   Пример функции с показателем p = -2n: y = 1/x².


4. Если показатель p = -(2n - 1), где n — натуральное число:
   • область определения — множество R, кроме x = 0;
   • множество значений — множество R, кроме y = 0;
   • функция нечетная;
   • функция является убывающей на промежутках x < 0 и x > 0.
   Пример функции с показателем p = -(2n - 1): y = 1/x³.


5. Если показатель p — положительное действительное нецелое число:
   • область определения — неотрицательные числа x ≥ 0;
   • множество значений — неотрицательные числа y ≥ 0;
   • функция является возрастающей на промежутке x ≥ 0.
   Пример функции с показателем p, где p — положительное действительное нецелое число: y = x^4/3.


6. Если показатель p — отрицательное действительное нецелое число:
   • область определения — положительные числа x > 0;
   • множество значений — положительные числа y > 0;
   • функция является убывающей на промежутке x > 0.
   Пример функции с показателем p, где p — отрицательное действительное нецелое число: y = x ^-1/3.

Другие заметки по алгебре и геометрии