В математике и ее приложениях приходится рассматривать уравнения, в которых неизвестными являются функции. Так, задача о нахождении пути s (t) по заданной скорости v сводится к решению уравнения sʹ(t) = v (t), где v (t) — заданная функция, а s (t) — искомая функция. Например, если v (t) = 3 - 4t, то для нахождения s (t) нужно решить уравнение sʹ (t) = 3 - 4t Это уравнение содержит производную неизвестной функции. Такие уравнения называются дифференциальными.
Задача 1. Решить дифференциальное уравнение yʹ = x + 1. ∆ Требуется найти функцию y (x), производная которой равна x + 1, т.е. найти первообразную функции x + 1. По правилам нахождения первообразных получаем: y = x²/2 + x + C, где C — произвольная постоянная. ▲
Задача 2. Найти решение y (x) дифференциального уравнения yʹ = cos x, удовлетворяюещее условию y (0) = 2. ∆ Все решения этого уравнения записываются формулой y (x) = sin x + C. Из условия y (0) = 2 находим sin 0 + C = 2, откуда C = 2. Ответ: y = 2 + sin x.▲
